Tre righe per smentire una congettura matematica che durava da 87 anni grazie a Fable

La finale del Mondiale è finita da poche ore. La Spagna ha battuto l’Argentina ai supplementari, grazie a un gol di Ferran Torres al 106º minuto. Mentre immagini, commenti e statistiche della partita continuano a rimbalzare in tutto il mondo, il matematico Levent Alpöge pubblica su X un messaggio di tutt’altro genere.

Comincia così:

«Hello there, the Jacobian conjecture is false».

Ringrazia Akhil Mathew, che gli ha suggerito il problema, e Claude Fable 5 per averci lavorato durante la finale. Sotto, tre righe di polinomi.

Poco più di duecento caratteri per annunciare la caduta di una congettura che, nella sua formulazione generale, resiste dal 1939.

La sproporzione tra il tono e il contenuto è notevole. Un messaggio scritto con la leggerezza di una conversazione notturna contiene il controesempio a un problema sul quale generazioni di matematici hanno lavorato senza trovare una soluzione.

Il post originale di Alpöge diventa rapidamente virale. Nel giro di poche ore altri matematici controllano i calcoli. Il controesempio funziona.

Nel frattempo, per chi volesse ricostruire anche il contesto della notte, la FIFA pubblica gli highlights ufficiali della finale tra Spagna e Argentina. La Spagna alza la Coppa del Mondo; quasi contemporaneamente, una congettura vecchia di 87 anni smette di essere vera.

Che cosa afferma la congettura Jacobiana

Una funzione matematica prende alcuni valori in ingresso e restituisce un risultato. Per poterla percorrere al contrario, ogni risultato deve corrispondere a un solo punto di partenza. Se due ingressi diversi producono la stessa uscita, non è più possibile ricostruire con certezza da dove si sia partiti.

Il determinante Jacobiano permette di controllare il comportamento della funzione nelle immediate vicinanze di ogni punto. Quando rimane costante e diverso da zero, la funzione è invertibile localmente: in una zona abbastanza piccola non confonde tra loro punti differenti.

Nel 1939 Ott-Heinrich Keller ipotizza che questa proprietà locale valga anche per l’intera funzione.

La congettura dice quindi una cosa precisa:

Se una funzione polinomiale è invertibile attorno a ogni singolo punto, allora deve essere invertibile anche nel suo insieme.

Per quasi novant’anni nessuno riesce a dimostrare che l’affermazione sia vera. Ma nessuno trova nemmeno una funzione capace di smentirla.

Che cosa trovano Alpöge e Fable 5

Il lavoro di Alpöge con Fable 5 porta a una formula concreta in tre variabili.

Quella formula supera il controllo previsto dalla congettura: il determinante Jacobiano rimane costante e diverso da zero. Osservata nelle vicinanze di ogni punto, la funzione si comporta quindi come una funzione invertibile.

Il problema emerge quando la si considera nel suo insieme.

La formula conduce tre punti di partenza differenti verso la stessa uscita. Conoscendo il risultato finale, non è quindi possibile stabilire quale dei tre ingressi lo abbia prodotto.

La funzione rispetta la condizione iniziale della congettura, ma smentisce la sua conclusione.

È questo il controesempio: una funzione matematica precisa che possiede la proprietà indicata da Keller e che, nonostante questo, non può essere invertita globalmente.

La costruzione funziona con tre variabili e può essere estesa a un numero maggiore. Il caso con due variabili rimane invece aperto.

Questa è tutta la matematica necessaria per comprendere la vicenda.

La domanda interessante, per chi segue l’evoluzione dell’intelligenza artificiale, comincia subito dopo: come ha fatto un modello a contribuire alla scoperta di qualcosa che gli specialisti non avevano trovato in quasi novant’anni?

Il tweet mostra la risposta, non il lavoro

La storia si presta a una rappresentazione molto semplice.

Un matematico formula una domanda particolarmente intelligente, la inserisce in una chat e il modello restituisce la formula capace di risolvere il problema.

Ma non sappiamo se sia andata così.

Al momento non è stata pubblicata una ricostruzione completa del lavoro. Non conosciamo il prompt iniziale, i tentativi scartati, gli strumenti utilizzati né la precisa divisione dei compiti tra Alpöge e Fable.

Sappiamo che Alpöge ha attribuito pubblicamente al modello un ruolo nella scoperta. Sappiamo che il risultato è stato verificato. Non sappiamo ancora abbastanza per trasformare l’episodio nella solita storia del prompt geniale che produce immediatamente una risposta straordinaria.

La brevità del tweet non ci dice nulla sulla durata e sulla complessità della ricerca.

Quando osserviamo il risultato finale di un sistema AI vediamo soltanto ciò che è arrivato alla fine: non necessariamente vediamo le ipotesi scartate, i calcoli intermedi, gli errori e le correzioni che hanno preceduto quella risposta.

Anche gli articoli pubblicati nei giorni successivi sottolineano che Alpöge non ha ancora descritto nel dettaglio il modo in cui ha lavorato con il modello. È quindi corretto attribuire a Fable un contributo sostanziale, ma non è ancora possibile dire con precisione quale parte della scoperta sia nata dal matematico e quale dal sistema.

Fable non è soltanto una chat

Claude Fable 5 viene presentato da Anthropic come un modello progettato per attività di ragionamento impegnative e per lavori complessi che si sviluppano su un periodo più lungo.

Non è pensato soltanto per produrre una risposta testuale a una domanda.

Può lavorare in più fasi, utilizzare strumenti, scrivere ed eseguire codice, controllare risultati intermedi e modificare il proprio percorso. In altre parole, può proseguire un lavoro senza che ogni singolo passaggio debba essere impartito dall’utente.

È la differenza tra un chatbot che risponde e un agente AI che riceve un obiettivo e tenta di raggiungerlo attraverso una sequenza di operazioni.

Questo non dimostra che nel caso della congettura Fable abbia lavorato in completa autonomia. Descrive però il tipo di sistema coinvolto: non un motore che si limita a completare una frase, ma un modello capace di alternare ipotesi, strumenti e verifiche.

Non basta fare “la domanda giusta”

Intorno all’AI generativa si è diffusa una convinzione rassicurante: per ottenere risultati migliori basta imparare a formulare domande migliori.

La qualità della domanda conta. Ma ridurre tutto al prompt significa ignorare la parte più difficile del lavoro.

Alpöge non disponeva soltanto di un modo più raffinato per parlare con il modello. Conosceva il problema, sapeva quali condizioni dovesse rispettare un eventuale controesempio ed era in grado di riconoscere se una formula meritasse di essere controllata.

La stessa risposta, ricevuta da una persona senza quella preparazione, avrebbe avuto poco valore. Avrebbe potuto sembrare una sequenza incomprensibile di simboli oppure, all’opposto, essere accettata e pubblicata senza le verifiche necessarie.

La competenza interviene prima, durante e dopo la domanda.

Prima, perché permette di scegliere un problema che abbia senso.

Durante, perché consente di correggere la ricerca, aggiungere condizioni e riconoscere quando il sistema sta seguendo una strada poco promettente.

Dopo, perché serve a controllare il risultato e a comprenderne l’importanza.

Un esperto non usa meglio l’AI perché conosce qualche formula segreta per scrivere i prompt. La usa meglio perché conosce il problema.

In che senso possiamo dire che l’AI ha ragionato

La parola «ragionamento» divide immediatamente la comunità matematica.

Per alcuni, anche un risultato di questo tipo resta il prodotto di un modello che manipola simboli e passaggi appresi senza comprendere davvero il problema. Per altri, la capacità di formulare ipotesi, verificarne le conseguenze e correggere i tentativi indica una forma di ragionamento che, pur diversa da quella umana, non può essere ridotta alla semplice generazione di una risposta.

Il caso della congettura permette di affrontare la questione in modo più concreto.

Non sappiamo se Fable comprenda la matematica come la comprende una persona. Possiamo però osservare le operazioni che un sistema di questo tipo è in grado di svolgere.

Può formulare un’ipotesi, trasformarla in un calcolo, controllare se rispetta determinate condizioni e usare il risultato per decidere il tentativo successivo. Può dividere un problema in parti più piccole, servirsi di programmi esterni e abbandonare una strada quando non porta a nulla.

Non sta necessariamente pensando come un matematico.

Ma non sta nemmeno recuperando da un archivio una soluzione che esisteva già.

Sta cercando.

È qui che la discussione sul ragionamento diventa più interessante. Non occorre attribuire al modello coscienza o intenzioni umane per riconoscere che sa svolgere alcune delle attività che compongono un ragionamento: formulare tentativi, confrontarli con le condizioni del problema, rilevare un errore e modificare la strategia.

La domanda utile non è quindi se l’AI “pensi davvero”.

La domanda utile è un’altra:

Quali parti del ragionamento riesce a svolgere, quanto sono affidabili e chi è in grado di controllarle?

Cercare non significa ricordare

I modelli linguistici vengono spesso descritti come sistemi che rimescolano ciò che hanno imparato durante l’addestramento.

È una descrizione parziale.

Un modello che può utilizzare strumenti, scrivere codice ed eseguire calcoli non deve necessariamente avere già incontrato da altre parti la risposta finale. Può formulare un tentativo, verificarne il risultato e usare ciò che ha appena osservato per produrre il tentativo successivo.

C’è una differenza tra consultare una biblioteca e condurre un esperimento.

Nel primo caso si cerca qualcosa che è già stato scritto. Nel secondo si prova una soluzione e si osserva che cosa accade.

Il controesempio di Alpöge non risultava disponibile in un articolo che il modello potesse semplicemente recuperare. Il valore del sistema, in questo caso, sembra stare nella capacità di muoversi tra molte costruzioni possibili fino a trovarne una che soddisfacesse contemporaneamente tutte le condizioni richieste.

Melissa Lee, matematica della Monash University, ha osservato che la vera difficoltà non sembra essere la complessità della formula finale. Il problema era trovare una strada efficace dentro un numero enorme di possibili funzioni polinomiali.

La soluzione appare semplice adesso che è davanti a tutti.

Prima bisognava trovarla.

Trovare, verificare e capire

La vicenda separa con chiarezza tre attività che tendiamo spesso a confondere.

1. La prima è trovare una risposta.
2. La seconda è verificare che sia corretta.
3. La terza è comprendere perché sia corretta.

Una volta pubblicato il controesempio, controllarlo è stato relativamente rapido per chi possedeva gli strumenti matematici necessari. Bastava verificare che il determinante Jacobiano avesse il valore dichiarato e che i tre punti indicati producessero effettivamente la stessa uscita.

Trovarlo era un’altra cosa.

La formula è breve quando la vediamo già scritta. Prima che esistesse, bisognava individuarla tra innumerevoli combinazioni possibili.

È qui che un sistema di AI può avere un vantaggio: può provare molte strade, ripetere calcoli, combinare elementi e proseguire la ricerca senza la stessa fatica e lo stesso calo di attenzione di una persona.

Rimane però il terzo passaggio.

Una formula corretta non è ancora una spiegazione. Dimostra che la congettura è falsa, ma non chiarisce da quale idea nasca il controesempio né quali conseguenze abbia per la comprensione del problema.

Akhil Mathew, il matematico ringraziato da Alpöge nel tweet, ha riassunto bene questa distanza:

«Si può verificare che sia corretto, ma sarebbe bello riuscire anche a raccontarne la storia».

È ciò che Tao prova a fare nella sua analisi: andare oltre la verifica dei calcoli e capire perché il controesempio funzioni.

Il modello ha contribuito a trovare l’oggetto. I matematici stanno cercando di comprenderlo.

La competenza non diventa meno importante

La lettura più superficiale dell’episodio è che l’AI abbia superato i matematici e ridotto il valore della loro competenza.

Il caso mostra piuttosto il contrario.

Fable non ha lavorato accanto a una persona incapace di valutare ciò che vedeva. Ha lavorato con un matematico che conosceva il problema, sapeva quali condizioni dovessero essere rispettate ed era in grado di riconoscere la rilevanza della risposta.

Più un sistema diventa capace di produrre risultati inattesi, più diventa importante chi deve distinguere una scoperta da un errore ben costruito.

La competenza cambia posizione.

L’esperto non deve necessariamente eseguire personalmente ogni calcolo, ma deve sapere quale problema porre, come metterne alla prova la risposta e quali conseguenze trarne.

L’AI può moltiplicare la capacità di ricerca di una persona competente. Può però moltiplicare anche gli errori di chi non possiede gli strumenti per giudicarla.

Due persone non usano mai davvero la stessa AI

Due utenti possono accedere allo stesso modello e ottenere risultati radicalmente diversi.

Non soltanto perché formulano richieste differenti, ma perché vedono cose diverse nella stessa risposta.

Chi non conosce il problema tende a giudicare il testo in base alla chiarezza, alla sicurezza del tono e alla quantità di dettagli.

Un esperto riconosce una premessa discutibile, un passaggio non dimostrato, un’eccezione ignorata o una conclusione corretta ma irrilevante rispetto alla domanda iniziale.

Anche le domande successive cambiano.

Chi non conosce il tema può chiedere al modello di spiegarsi meglio. Chi lo conosce può chiedergli di cercare un controesempio, mettere alla prova la propria conclusione, utilizzare un metodo differente o controllare un passaggio preciso.

Non è il prompt iniziale a fare la differenza.

È la capacità di continuare il confronto senza accettare passivamente la prima risposta.

La domanda più utile è quella che mette alla prova l’ipotesi

La congettura Jacobiana è rimasta aperta per decenni perché nessuno è riuscito a dimostrarla, ma nemmeno a trovare un controesempio che la potesse smentire.

Il risultato di Alpöge e Fable ricorda che ragionare non significa soltanto cercare conferme.

Significa anche chiedersi che cosa renderebbe falsa un’idea apparentemente convincente.

È una distinzione importante nel modo in cui interroghiamo l’AI.

Chiedere al sistema perché una nostra ipotesi sia corretta porta facilmente a una risposta che la rende più ordinata e persuasiva.

Chiedergli che cosa potrebbe smentirla cambia il lavoro.

Lo obbliga a cercare contraddizioni, eccezioni e condizioni nelle quali la conclusione non regge.

Spesso la domanda più utile non è:

Perché questa soluzione è corretta?

Ma:

Cosa potrebbe dimostrare che è sbagliata?

Non è una tecnica di prompting. È un modo più serio di affrontare un problema.

Il risultato è pubblico. Il processo molto meno

Il controesempio può essere controllato. Il modo in cui è stato trovato rimane, almeno per ora, assai meno chiaro.

Questa differenza apre alcune domande.

Quanto deve essere documentato il lavoro compiuto da un modello? È sufficiente pubblicare il risultato finale oppure occorre rendere disponibili anche le istruzioni, i tentativi intermedi e gli strumenti utilizzati? Come si distingue il contributo del ricercatore da quello del sistema?

Poche settimane prima dell’annuncio, la Dichiarazione di Leida sull’intelligenza artificiale e la matematica aveva già posto questioni molto simili.

Il documento, sostenuto dall’International Mathematical Union, chiede trasparenza sull’impiego dell’AI, verificabilità dei risultati, responsabilità umana e attenzione alla crescente dipendenza della ricerca da infrastrutture controllate da aziende private.

Il caso Alpöge-Fable rende improvvisamente concrete quelle preoccupazioni.

La formula è pubblica e può essere controllata da chi possiede le competenze necessarie.

Il percorso che ha portato alla formula, invece, non è ancora altrettanto trasparente.

Non è una gara tra uomo e macchina

Raccontare la vicenda come una vittoria dell’AI contro i matematici è una semplificazione.

Un matematico ha scelto il problema e possedeva la competenza necessaria per valutarlo. Un modello ha contribuito a trovare una costruzione che nessuno aveva ancora pubblicato. Altri matematici hanno verificato il risultato e hanno cominciato a spiegarlo.

Nessuna di queste parti rende inutile l’altra.

L’episodio mostra però che l’uso dell’AI sta cambiando.

Non si tratta più soltanto di riassumere documenti, tradurre testi o recuperare informazioni. Un sistema può partecipare alla ricerca di una risposta che ancora non esiste.

Da quel momento, non è che la competenza non serve più ma serve in un modo diverso.

Serve per porre problemi che abbiano senso, guidare la ricerca senza determinarne in anticipo la conclusione, riconoscere una risposta valida e trasformare un risultato isolato in qualcosa che anche altri possano capire.

La finale del Mondiale è finita da poche ore quando Alpöge pubblica tre righe sufficienti a smentire una congettura nata nel 1939.

La parte sorprendente non è soltanto che un modello abbia contribuito a trovare la risposta.

È che, per capire che quella era davvero una risposta, serviva ancora un matematico.